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ローレンツ変換と速度の合成則

ローレンツ変換と速度の合成則

特殊相対性理論の数学的中核です。高校数学（平方根と分数式）だけで扱えます。

1. 座標変換とは何か

「地上の人が測った時刻と位置」を「走る列車の乗客が測った時刻と位置」に翻訳する規則が座標変換です。

ニュートン時代の常識: ガリレイ変換

速度 v で動く立場への翻訳は、素朴にはこうなります。

x' = x − vt（位置は移動分ずれる） t' = t（時間は誰にとっても同じ）

時速100kmの電車から時速100kmでボールを投げれば地上から見て時速200km、という「速度の足し算」はここから出ます。日常では完璧に機能しますが、光速度不変と矛盾します。

2. ローレンツ変換

「光速はどちらの立場でも c」を満たすように変換を作り直すと、次の形が一意に決まります（x 方向に速度 v で動く立場への変換）。

x' = γ (x − vt) t' = γ (t − vx/c²) γ = 1 / √(1 − v²/c²)　（ローレンツ因子）

ガリレイ変換との違いは2点だけです。

この第2の違いこそ「同時の相対性」の正体です。t が同じでも x が違えば t' は変わる — 場所が違う2つの出来事の「同時」は立場によってずれます。

1つの式に全部入っている

既知の現象 ローレンツ変換からの導出
時間の遅れ 同じ場所の2つの出来事の間隔を変換 → t' が γ 倍に伸びる
長さの収縮 同時刻の両端の位置を変換 → 長さが 1/γ に縮む
同時の相対性 t 一定でも x が違えば t' が異なる

光時計などの思考実験で個別に導いた結果が、すべてこの2行の式に含まれています。

v が小さいとガリレイ変換に戻る

日常の速度では v²/c² ≒ 0 なので γ ≒ 1、vx/c² ≒ 0。ローレンツ変換はガリレイ変換にほぼ一致します。ニュートン力学は捨てられたのではなく、低速の近似として包含されたことが式の上でも確認できます。

3. 速度の合成則 — 光速の壁の数学

ローレンツ変換から、速度の「足し算」の正しい規則が導けます。速度 v で飛ぶロケットから、さらに前方へ速度 u で物を発射したとき、地上から見た速度 w は:

w = (u + v) / (1 + uv/c²)

単純な足し算 u + v を、分母 (1 + uv/c²) が「抑え込む」構造です。

具体例

ロケットの速度 v 発射する速度 u 素朴な足し算 正しい答え w
時速100km 時速100km 時速200km 時速200km（補正は約9×10⁻¹³%）
0.5c 0.5c 1.0c 0.8c
0.9c 0.9c 1.8c 0.994c
0.99c 0.99c 1.98c 0.99995c
任意の v c（光を発射） v + c c（必ず光速のまま）

最後の行が重要です。u = c を代入すると分子も分母も整理されて必ず w = c。どんな速さの乗り物から光を放っても光速は c のまま — 光速度不変が、合成則に最初から織り込まれていることが分かります。

そして光速未満の速度をいくら合成しても、結果は必ず光速未満。「光速の壁」は禁止ルールではなく、速度の合成という算術そのものの性質なのです。

4. ローレンツ因子 γ の感覚

γ は時間の遅れ・長さの収縮・エネルギー増大すべてに現れる「相対論の効き具合」の指標です。

{
  "type": "line",
  "data": {
    "labels": ["0", "0.2c", "0.4c", "0.6c", "0.8c", "0.9c", "0.99c", "0.999c"],
    "datasets": [{ "label": "ローレンツ因子 γ", "data": [1, 1.02, 1.09, 1.25, 1.67, 2.29, 7.09, 22.4] }]
  }
}

光速の60%でも γ = 1.25（25%増）程度。効果が本格化するのは0.8cを超えてからで、光速に近づくと発散します。γ → ∞ が「質量のある物体は光速に到達できない」ことの数式表現です。

5. 歴史の補足

この変換式自体はローレンツ（1904年）がアインシュタインより先に書き下しています（名前の由来）。違いは解釈です。ローレンツは「エーテル中を動く物体に起きる物理的な収縮」と考え、アインシュタインは「時間と空間そのものの変換規則」と見抜きました。同じ式でも、後者だけが時空の理解を変えたのです。

まとめ

参考文献